Handige tips

Hoe lineaire vergelijkingen op te lossen?

Pin
Send
Share
Send
Send


In deze video zullen we een hele reeks lineaire vergelijkingen analyseren die door hetzelfde algoritme worden opgelost - daarom worden ze de eenvoudigste genoemd.

Om te beginnen zullen we bepalen: wat is een lineaire vergelijking en welke noemen we de eenvoudigste?

- een waarin er slechts één variabele is, en alleen tot de eerste graad.

Met de eenvoudigste vergelijking wordt de constructie bedoeld:

Alle andere lineaire vergelijkingen worden tot het eenvoudigst gereduceerd met behulp van het algoritme:

  1. Vouw de haakjes uit, indien aanwezig,
  2. Breng termen met een variabele over naar de ene kant van het gelijkteken en termen zonder een variabele naar de andere,
  3. Geef vergelijkbare termen links en rechts van het gelijkteken,
  4. Deel de resulterende vergelijking door de coëfficiënt voor de variabele $ x $.

Natuurlijk helpt dit algoritme niet altijd. Het feit is dat soms na al deze fraude de coëfficiënt met de variabele $ x $ nul blijkt te zijn. In dit geval zijn twee opties mogelijk:

  1. De vergelijking heeft helemaal geen oplossingen. Als u bijvoorbeeld iets krijgt in de geest van $ 0 cdot x = 8 $, d.w.z. links staat nul en rechts een niet-nul nummer. In de onderstaande video zullen we verschillende redenen tegelijk beschouwen waarvoor een dergelijke situatie mogelijk is.
  2. De oplossing is alle getallen. Het enige geval waarin dit mogelijk is, is dat de vergelijking is teruggebracht tot de constructie $ 0 cdot x = 0 $. Het is logisch dat ongeacht welke $ x $ we vervangen, het nog steeds zal blijken "nul is nul", d.w.z. echte numerieke gelijkheid.

Laten we nu kijken hoe dit allemaal werkt aan het voorbeeld van echte taken.

Voorbeelden van het oplossen van vergelijkingen

Vandaag hebben we te maken met lineaire vergelijkingen, en alleen de eenvoudigste. In het algemeen betekent een lineaire vergelijking elke gelijkheid die precies één variabele bevat, en deze gaat alleen naar de eerste graad.

Dergelijke ontwerpen worden ongeveer hetzelfde opgelost:

  1. Allereerst moet u de haakjes openen, indien aanwezig (zoals in ons laatste voorbeeld),
  2. Breng dan samen
  3. Isoleer ten slotte de variabele, d.w.z. alles wat met de variabele te maken heeft - de termen waarin het voorkomt - moet naar de ene kant worden overgebracht, en alles wat zonder is, moet naar de andere kant worden overgebracht.

Dan is het in de regel noodzakelijk om de overeenkomsten aan elke zijde van de verkregen gelijkheid te geven, en daarna blijft het alleen om te delen door de coëfficiënt voor "X", en we zullen het definitieve antwoord krijgen.

In theorie ziet dit er mooi en eenvoudig uit, maar in de praktijk kunnen zelfs ervaren middelbare scholieren aanstootgevende fouten maken in vrij eenvoudige lineaire vergelijkingen. Gewoonlijk worden fouten gemaakt bij het openen van de haakjes of bij het berekenen van de "plussen" en "minnen".

Bovendien gebeurt het dat een lineaire vergelijking helemaal geen oplossingen heeft, of dat de oplossing de gehele getallenlijn is, d.w.z. elk nummer. We zullen deze subtiliteiten analyseren in de les van vandaag. Maar we beginnen, zoals u al hebt begrepen, met de eenvoudigste taken.

Hoe te beslissen?

Het oplossen van een lineaire vergelijking betekent vinden waar de variabele gelijk aan is. Hoe doe je dit? Ja, heel eenvoudig - met eenvoudige algebraïsche bewerkingen en volgens de regels voor overdracht. Als de vergelijking op een algemene manier voor je is verschenen, heb je geluk, alles wat moet worden gedaan:

  1. Verplaats b naar de rechterkant van de vergelijking en vergeet niet het teken te wijzigen (overdrachtsregel!). Dus uit een uitdrukking van de vorm ax + b = 0 moet u een uitdrukking van de vorm krijgen: ax = -b.
  2. Pas de regel toe: om een ​​van de factoren (x - in ons geval) te vinden, moet u het product (-b in ons geval) delen door een andere factor (a - in ons geval). Er moet dus een uitdrukking van de vorm worden verkregen: x = -b / a.

Dat is alles - de oplossing is gevonden!

Laten we nu een specifiek voorbeeld bekijken:

  1. 2x + 4 = 0 - overdracht b, in dit geval gelijk aan 4, rechts
  2. 2x = –4 - deel b door a (vergeet het minteken niet)
  3. x = –4/2 = –2

Dat is alles! Onze oplossing: x = –2.

Zoals u kunt zien, is de oplossing van een lineaire vergelijking met één variabele vrij eenvoudig te vinden, maar alles is zo eenvoudig als we het geluk hebben de vergelijking in algemene vorm te ontmoeten. In de meeste gevallen is het, voordat de vergelijking in de twee hierboven beschreven stappen wordt opgelost, nog steeds nodig om de bestaande uitdrukking in een algemene vorm te brengen. Dit is echter ook geen ontmoedigende taak. Laten we enkele speciale gevallen met voorbeelden bekijken.

De beslissing over speciale gevallen

Laten we eerst de gevallen analyseren die we aan het begin van het artikel hebben beschreven en uitleggen wat een oneindig aantal oplossingen en de afwezigheid van een oplossing betekent.

  • Als a = b = 0, ziet de vergelijking er als volgt uit: 0x + 0 = 0. Als we de eerste stap uitvoeren, krijgen we: 0x = 0. Wat betekent deze onzin, roep je! Immers, ongeacht welk getal u vermenigvuldigt met nul, u krijgt altijd nul! Dat klopt! Daarom zeggen ze dat de vergelijking een oneindig aantal oplossingen heeft - welk getal je ook neemt, de gelijkheid zal waar zijn, 0x = 0 of 0 = 0.
  • Als a = 0, b ≠ 0, ziet de vergelijking er als volgt uit: 0x + 3 = 0. Voer de eerste stap uit, we krijgen 0x = -3. Weer onzin! Het is duidelijk dat deze gelijkheid nooit waar zal zijn! Dat is waarom ze zeggen - de vergelijking heeft geen oplossingen.
  • Als a ≠ 0, b = 0, ziet de vergelijking er als volgt uit: 3x + 0 = 0. Als we de eerste stap uitvoeren, krijgen we: 3x = 0. Welke oplossing? Het is eenvoudig, x = 0.

Vertaalproblemen

Met de beschreven speciale gevallen kunnen lineaire vergelijkingen ons niet verrassen. Soms is een vergelijking over het algemeen moeilijk te identificeren op het eerste gezicht. Laten we een voorbeeld analyseren:

Is dit een lineaire vergelijking? Maar hoe zit het met de nul aan de rechterkant? We zullen niet snel conclusies trekken, we zullen handelen - we zullen alle componenten van onze vergelijking naar links overbrengen. We krijgen:

Trek nu hetzelfde af van vergelijkbaar, we ontvangen:

Heb je het ontdekt? De meest lineaire vergelijking! Welke oplossing: x = 20/10 = 2.

Maar wat als we het volgende voorbeeld hebben:

Ja, dit is ook een lineaire vergelijking, er hoeven alleen meer transformaties te worden uitgevoerd. Open eerst de haakjes:

  1. (12 (x + 2) / 3) + 12x = 12 - 36x / 4
  2. 4 (x + 2) + 12x = 12 - 36x / 4
  3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - nu voeren we de overdracht uit:
  4. 25x - 4 = 0 - het blijft een oplossing vinden volgens het reeds bekende schema:
  5. 25x = 4,
  6. x = 4/25 = 0,16

Zoals je kunt zien, is alles opgelost, het belangrijkste is niet om je zorgen te maken, maar om te handelen. Vergeet niet dat als je vergelijking alleen variabelen van de eerste graad en het eerste getal bevat, je een lineaire vergelijking hebt, die, ongeacht hoe deze er aanvankelijk uitziet, in een algemene vorm kan worden gebracht en opgelost. We hopen dat het je lukt! Veel geluk

inhoud

De lineaire vergelijking van één variabele kan worden gereduceerd tot de vorm:

Het aantal oplossingen is afhankelijk van de parameters a en b.

De lineaire vergelijking van twee variabelen kan worden weergegeven:

beslissingof roots, zo'n vergelijking wordt zo'n paar variabele waarden (x, y) < displaystyle (x, y)> genoemd, waardoor het een identiteit wordt. Er is een oneindig aantal van dergelijke oplossingen (wortels) van een lineaire vergelijking met twee variabelen. Het geometrische model (grafiek) van een dergelijke vergelijking is de lijn y = k x + m < displaystyle y = kx + m>.

Schema voor het oplossen van de eenvoudigste lineaire vergelijkingen

Laat me om te beginnen nogmaals het hele schema schrijven voor het oplossen van de eenvoudigste lineaire vergelijkingen:

  1. We openen de beugels, indien aanwezig.
  2. We isoleren de variabelen, d.w.z. alles dat "X" bevat, wordt in de ene richting overgedragen en zonder "X" in de andere richting.
  3. We geven vergelijkbare voorwaarden.
  4. We delen alles door de coëfficiënt voor "X".

Natuurlijk werkt dit schema niet altijd, het heeft bepaalde subtiliteiten en trucs, en nu zullen we ze leren kennen.

We lossen echte voorbeelden op van eenvoudige lineaire vergelijkingen

In de eerste stap moeten we de beugels openen. Maar ze zijn niet in dit voorbeeld, dus we slaan deze fase over. In de tweede stap moeten we de variabelen isoleren. Let op: we hebben het alleen over individuele termen. Laten we schrijven:

We geven links en rechts vergelijkbare termen, maar hier is het al gedaan. Daarom gaan we verder met de vierde stap: delen door een coëfficiënt:

Dus we kregen het antwoord.

[5 links (x + 9 rechts) = 5x + 45 ]

In deze taak kunnen we de haakjes observeren, dus laten we ze uitbreiden:

Zowel links als rechts zien we ongeveer dezelfde constructie, maar laten we handelen volgens het algoritme, d.w.z. we isoleren variabelen:

Wat zijn de wortels hiervan? Antwoord: voor elke. Daarom kunnen we schrijven dat $ x $ elk getal is.

De derde lineaire vergelijking is al interessanter:

[ links (6-x rechts) + links (12 + x rechts) - links (3-2x rechts) = 15 ]

Er zijn verschillende haakjes hier, maar ze vermenigvuldigen met niets, ze hebben gewoon verschillende tekens voor zich. Laten we ze onthullen:

We voeren de tweede stap uit die we al kennen:

We voeren de laatste stap uit - we delen alles door de coëfficiënt voor "X":

Wat u moet onthouden bij het oplossen van lineaire vergelijkingen

Als we afleiden van te eenvoudige taken, zou ik het volgende willen zeggen:

  • Zoals ik hierboven zei, heeft niet elke lineaire vergelijking een oplossing - soms zijn er gewoon geen wortels,
  • Zelfs als er wortels zijn, kan nul worden opgeruimd - daar is niets mis mee.

Nul is hetzelfde nummer als de rest, u moet het op de een of andere manier niet discrimineren of aannemen dat als u nul krijgt, u iets verkeerd hebt gedaan.

Een ander kenmerk in verband met de openbaarmaking van haakjes. Let op: wanneer ze een minteken voor zich hebben, verwijderen we dit, maar we veranderen de tekens tussen haakjes in tegengestelde. En dan kunnen we het openen volgens standaardalgoritmen: we krijgen wat we in de bovenstaande berekeningen hebben gezien.

Als je dit simpele feit begrijpt, kun je domme en aanstootgevende fouten op de middelbare school voorkomen wanneer de uitvoering van dergelijke acties als vanzelfsprekend wordt beschouwd.

Complexe lineaire vergelijkingen oplossen

Laten we verder gaan met complexere vergelijkingen. Nu zullen de constructies gecompliceerder worden en zal een kwadratische functie ontstaan ​​tijdens verschillende transformaties. Daar moet je echter niet bang voor zijn, want als we, volgens de bedoeling van de auteur, de lineaire vergelijking oplossen, dan zullen tijdens het conversie alle monomials met een kwadratische functie noodzakelijkerwijs worden verminderd.

[12- links (1-6x rechts) x = 3x links (2x-1 rechts) + 2x ]

Het is duidelijk dat het eerste wat u moet doen de haken openen. Laten we het heel voorzichtig doen:

[12- links (x-6x cdot x rechts) = 3x cdot 2x-3x + 2x ]

Laten we nu de eenzaamheid doen:

Vanzelfsprekend heeft deze vergelijking geen oplossingen, daarom schrijven we in het antwoord:

[8 links (2x-1 rechts) -5 links (3x + 0,8 rechts) = x-4 ]

We voeren dezelfde acties uit. Eerste stap:

[8 cdot 2x-8- left (5 cdot 3x + 5 cdot 0.8 right) = x-4 ]

[16x-8- left (15x + 4 right) = x-4 ]

We verplaatsen alles met de variabele naar links, en zonder deze naar rechts:

Het is duidelijk dat deze lineaire vergelijking geen oplossing heeft, daarom schrijven we

of geen wortels.

Oplossing Nuances

Beide vergelijkingen zijn volledig opgelost. Aan de hand van het voorbeeld van deze twee uitdrukkingen waren we er opnieuw van overtuigd dat zelfs in de eenvoudigste lineaire vergelijkingen alles niet zo eenvoudig kan zijn: er kan een of geen, of oneindig veel wortels zijn. In ons geval hebben we twee vergelijkingen overwogen; er zijn simpelweg geen wortels in beide.

Maar ik wil graag uw aandacht vestigen op een ander feit: hoe te werken met haakjes en hoe deze te openen als er een minteken voor staat. Beschouw deze uitdrukking:

[12- links (1-6x rechts) x = 3x links (2x-1 rechts) + 2x ]

Voordat u onthult, moet u alles vermenigvuldigen met "X". Let op: vermenigvuldigt elke individuele term. Binnenin zijn er twee termen - respectievelijk twee termen en vermenigvuldigd.

En pas nadat deze schijnbaar elementaire, maar zeer belangrijke en gevaarlijke transformaties zijn voltooid, kunt u de haak openen in termen van het feit dat er een minteken achter staat. Ja, ja: alleen nu, wanneer de transformaties zijn voltooid, herinneren we ons dat het minteken voor de haakjes staat, wat betekent dat alles wat onderaan staat eenvoudig van teken verandert. In dit geval verdwijnen de haakjes zelf en, belangrijker nog, de voorkant "min" verdwijnt ook.

We doen hetzelfde met de tweede vergelijking:

[8 links (2x-1 rechts) -5 links (3x + 0,8 rechts) = x-4 ]

Het is geen toeval dat ik aandacht besteed aan deze kleine, schijnbaar onbeduidende feiten. Omdat de oplossing van vergelijkingen altijd een reeks elementaire transformaties is, waarbij het onvermogen om duidelijke en correcte eenvoudige acties uit te voeren ertoe leidt dat middelbare scholieren naar mij toe komen en opnieuw leren om dergelijke eenvoudige vergelijkingen op te lossen.

Natuurlijk zal de dag komen en zul je deze vaardigheden aanscherpen om te automatiseren. U hoeft niet langer elke keer zoveel transformaties uit te voeren, u schrijft allemaal op één regel. Maar terwijl je net aan het leren bent, moet je elke actie afzonderlijk schrijven.

Nog complexere lineaire vergelijkingen oplossen

Wat we gaan oplossen, is moeilijk de eenvoudigste taak te noemen, maar de betekenis blijft hetzelfde.

[ links (7x + 1 rechts) links (3x-1 rechts) -21 <^<2>>=3]

Laten we alle elementen in het eerste deel vermenigvuldigen:

[7x cdot 3x + 7x cdot links (-1 rechts) +1 cdot 3x + 1 cdot links (-1 rechts) -21 <^<2>>=3]

Laten we wat privacy doen:

Voer de laatste stap uit:

Hier is ons laatste antwoord. En ondanks het feit dat tijdens het oplossen van de coëfficiënten met een kwadratische functie ontstonden, vernietigden ze elkaar echter, wat de vergelijking lineair maakt, niet vierkant.

[ links (1-4x rechts) links (1-3x rechts) = 6x links (2x-1 rechts) ]

Laten we de eerste stap zorgvuldig voltooien: we vermenigvuldigen elk element uit de eerste schijf met elk element uit de tweede. In totaal zouden na de transformaties vier nieuwe termen moeten worden verkregen:

[1 cdot 1 + 1 cdot links (-3x rechts) + links (-4x rechts) cdot 1+ links (-4x rechts) cdot links (-3x rechts) = 6x cdot 2x + 6x cdot links (-1 rechts) ]

En voer nu voorzichtig de vermenigvuldiging in elke term uit:

We dragen de voorwaarden over met "X" naar links, en zonder - naar rechts:

We geven vergelijkbare voorwaarden:

We hebben opnieuw het definitieve antwoord ontvangen.

Over algebraïsche som

In het laatste voorbeeld wil ik studenten eraan herinneren wat een algebraïsche som is. In de klassieke wiskunde bedoelen we met $ 1-7 $ een eenvoudige constructie: we trekken zeven af ​​van een eenheid. In algebra bedoelen we hiermee het volgende: aan het nummer "eenheid" voegen we nog een nummer toe, namelijk "min zeven". Dit verschilt de algebraïsche som van de gebruikelijke rekenkunde.

Zodra je alle transformaties, elke optelling en vermenigvuldiging hebt voltooid, begin je constructies te zien die vergelijkbaar zijn met die hierboven beschreven, zul je gewoon geen problemen in de algebra hebben wanneer je met veeltermen en vergelijkingen werkt.

Laten we tot slot nog een paar voorbeelden bekijken die nog complexer zullen zijn dan die we net hebben onderzocht, en om ze op te lossen zullen we ons standaardalgoritme lichtjes moeten uitbreiden.

Breukvergelijkingen oplossen

Om dergelijke problemen op te lossen, moet nog een stap aan ons algoritme worden toegevoegd. Maar eerst zal ik ons ​​algoritme eraan herinneren:

  1. Klap de haakjes uit.
  2. Afzonderlijke variabelen.
  3. Breng de likes.
  4. Deel door coëfficiënt.

Helaas is dit prachtige algoritme, met al zijn effectiviteit, niet helemaal geschikt als we breuken hebben. En in wat we hieronder zullen zien, hebben we een fractie in beide vergelijkingen links en rechts.

Hoe te werken in dit geval? Ja, alles is heel eenvoudig! Om dit te doen, moet u nog een stap toevoegen aan het algoritme, dat zowel vóór de eerste actie als daarna kan worden uitgevoerd, namelijk om fracties te verwijderen. Het algoritme is dus als volgt:

  1. Weg met breuken.
  2. Klap de haakjes uit.
  3. Afzonderlijke variabelen.
  4. Breng de likes.
  5. Deel door coëfficiënt.

Wat betekent het om van breuken af ​​te komen? En waarom kan dit zowel na als voor de eerste standaardstap worden gedaan? In ons geval zijn in feite alle breuken numeriek per noemer, d.w.z. overal in de noemer is slechts een getal. Daarom, als we beide zijden van de vergelijking met dit getal vermenigvuldigen, zullen we de breuken verwijderen.

Laten we de breuken in deze vergelijking verwijderen:

Let op: met "vier" wordt alles eenmaal vermenigvuldigd, d.w.z. als u twee haakjes hebt, betekent dit niet dat elk van deze moet worden vermenigvuldigd met "vier". Wij schrijven:

[ links (2x + 1 rechts) links (2x-3 rechts) = links (<^ <2>> -1 rechts) cdot 4 ]

[2x cdot 2x + 2x cdot links (-3 rechts) +1 cdot 2x + 1 cdot links (-3 rechts) = 4 <^<2>>-4]

We doen de eenzaamheid van de variabele:

Wij voeren de vermindering van dergelijke voorwaarden uit:

[- 4x = -1 links | : links (-4 rechts) rechts. ]

We hebben de definitieve oplossing, ga naar de tweede vergelijking.

Hier voeren we allemaal dezelfde acties uit:

[1 cdot 1 + 1 cdot 5x + left (-x right) cdot 1+ left (-x right) cdot 5x + 5 <^<2>>=5]

Dat is eigenlijk alles wat ik vandaag wilde vertellen.

Hoofdpunten

De belangrijkste bevindingen zijn:

  • Ken het algoritme voor het oplossen van lineaire vergelijkingen.
  • Mogelijkheid om beugels te openen.
  • Maak je geen zorgen als je ergens kwadratische functies hebt, waarschijnlijk tijdens het proces van verdere transformaties.
  • De wortels in lineaire vergelijkingen, zelfs de eenvoudigste, zijn van drie typen: één enkele wortel, de hele getallenlijn is een wortel, er zijn helemaal geen wortels.

Ik hoop dat deze les je helpt een eenvoudig, maar zeer belangrijk onderwerp onder de knie te krijgen voor een beter begrip van alle wiskunde. Als er iets niet duidelijk is, ga dan naar de site, los de voorbeelden op die daar worden gepresenteerd. Blijf bij ons, u zult nog veel meer interessante dingen vinden!

Bekijk de video: Lineaire vergelijkingen - De balansmethode - deel 1 - WiskundeAcademie (Juni- 2022).

Pin
Send
Share
Send
Send